Übersicht über die gängigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Jochen Voß (voss@seehuhn.de)
http://seehuhn.de/pages/maths/

5. Juni 2010

Dieser Text enthält eine knappe Zusammenstellung der wichtigsten Eigenschaften einiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Ausser den Gewichten bzw. der Dichte liste ich hier den Erwartungswert, die Varianz und die charakteristische Funktion der Verteilungen auf.

Über Hinweise und Verbesserungsvorschläge bin ich stets dankbar.

Inhaltsverzeichnis

1 Diskrete Verteilungen
2 Kontinuierliche Verteilungen

1 Diskrete Verteilungen

Dieser Abschnitt enthält Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf den endlichen oder abzählbaren Mengen, die durch Wahrscheinlichkeitsgewichte definiert sind.

Die Laplaceverteilung (Gleichverteilung) auf der Menge M. Gewichte $1 wM (k) = ---- für alle k ∈ M . |M |$
Die Bernoulliverteilung mit Parameter p. Gewichte ${ p falls k=1, und wp (k) = 1 - p falls k=0 für alle k ∈ {0,1}.$
Erwartungswert: p. Varianz: p(1 - p). Momentenerzeugende Funktion
$t φp(t) = 1+ p(e - 1).$

Diese Verteilung ist mit der (1,p)-Verteilung identisch.
Die Binomialverteilung mit Parametern n und p. Abkürzung: (n,p). Gewichte $( ) w (k) = n pk(1 - p)n-k für alle k ∈ {0,1,...,n}. n,p k$
Erwartungswert: np. Varianz: np(1 - p). Momentenerzeugende Funktion
$φ (t) = (1+ p(et - 1))n. n,p$

Die Summe von n unabhängigen, bernoulliverteilten Zufallsvariablen mit Parameter p ist (n,p)-verteilt.
Die Poissonverteilung mit Parameter λ. Gewichte $- λλk- wλ(k) = e k! für alle k ∈ ℕ0.$
Erwartungswert: λ. Varianz: λ. Momentenerzeugende Funktion
$( t ) φλ(t) = exp λ(e - 1).$
Die geometrische Verteilung mit Parameter p. Gewichte $k-1 wp(k) = (1- p) p für alle k ∈ ℕ.$
Erwartungswert: 1∕p. Varianz: (1 - p)∕p². Momentenerzeugende Funktion
$φp(t) = -----p----. e-t +p - 1$
Die hypergeometrische Verteilung mit Parametern M, N und n. Gewichte $(M)(N-M ) w (k) = -k-(-n-)-k-- für alle k ∈ {0,1,...,n}. M,N,n Nn$
Erwartungswert: nM∕N. Varianz: n1 -.

2 Kontinuierliche Verteilungen

Dieser Abschnitt enthält Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf den reellen Zahlen, die durch eine Dichte definiert sind.

Die Gleichverteilung auf dem Intervall [a;b]. Dichte $--1-- f[a;b](x) = b - a für alle x ∈ [a;b].$
Erwartungswert: (a + b)∕2. Varianz: (b - a)²∕12. Momentenerzeugende Funktion
$1ebt - eat φ[a;b](t) = t--b--a-.$
Die Normalverteilung (Gaußverteilung) mit Erwartungswert μ und Varianz σ². Abkürzung: (μ,σ²). Dichte $--1--- ( (x---μ)2) fμ,σ2(x) = √2π-σ2 exp - 2σ2 für alle x ∈ ℝ.$
Erwartungswert: μ. Varianz: σ². Momentenerzeugende Funktion
$( 2 2 ) φμ,σ2(t) = exp tμ+ t σ ∕2.$
Die Exponentialverteilung mit Parameter λ. Abkürzung: Exp(λ). Dichte $fλ(x) = λe-λx für alle x ≥ 0.$
Erwartungswert: 1∕λ. Varianz: 1∕λ². Momentenerzeugende Funktion
$λ φλ(t) = ----. λ - t$

Diese Verteilung ist mit der Gamma(1,λ)-Verteilung identisch.
Die Gammaverteilung mit Parametern α und β. Abkürzung: Gamma(α,β). Dichte $α fα,β(x) = -β-- xα-1e-βx für alle x > 0. Γ (α )$
Erwartungswert: α∕β. Varianz: α∕β². Momentenerzeugende Funktion
$φ α,β(t) = (1- t∕β)-α.$

Für α = 1 erhält man die Exp(β)-Verteilung. Für β = 1∕2 und 2α ∈ ℕ erhält man die χ²-Verteilung mit 2α Freiheitsgraden.
Die Chi-Quadrat-Verteilung (χ²-Verteilung) mit p Freiheitsgraden. Dichte $1 p∕2-1 -x∕2 fp(x) = Γ (p∕2)2p∕2x e für alle x > 0.$
Erwartungswert: p. Varianz: 2p. Momentenerzeugende Funktion
$φp(t) = (1- 2t)- p∕2.$

Diese Verteilung ist mit der Gamma(p∕2,1∕2)-Verteilung identisch. Sie ist außerdem die Verteilung der Summe der Quadrate von p unabhängig (0,1)-verteilten Zufallsvariablen.
Die Cauchyverteilung mit Parametern α und β. Dichte $1 1 fα,β(x ) = -------------2--2 für alle x ∈ ℝ. βπ 1 + (x - α) ∕β$
Momentenerzeugende Funktion
$( ) φ α,β(t) = exp αt+ β|t| .$

Diese Verteilung besitzt weder Erwartungswert noch Varianz.